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REPRESENTACIÓN DE SEÑALES Y SISTEMAS

INDICE

—LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y SUS PROPIEDADES
—TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH
—DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA
—FUNCIÓN DELTA DE DIRAC
—TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS
—TRANSMISIÓN DE SEÑALES A TRAVÉS DE SISTEMAS LINEALES
—FILTROS
—TRANSFORMADA HILBERT
—PRE-ENVOLVENTE
—REPRESENTACIÓN CANÓNICA DE SEÑALES PASABANDA
—SISTEMAS PASABANDA
—RETRASO DE FASE Y DE GRUPO

TEOREMA DE LA ENERGÍA DE RAYLEIGH

  • žLA POTENCIA TOTAL DE UNA SEÑAL PERIÓDICA SE PUEDE ASOCIAR CON LA SUMA DE LAS POTENCIAS CONTENIDAS EN CADA COMPONENTE DE FRECUENCIA (TEOREMA DE PARSEVAL).
ž
  • žLA MISMA CLASE DE RESULTADO ES DE ESPERAR EN EL CASO DE SEÑALES NO PERIÓDICAS REPRESENTADAS POR SUS TRANSFORMADAS DE FOURIER.

                                                              

  • žCON ESTA DEFINICION EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO UNA INTENSIDAD DE ENERGIA VARIANTE EN EL TIEMPO.
ž 

žESTE ES EL “TEOREMA DE RAYLEIGH”; TAMBIÉN CONOCIDO COMO “TEOREMA DE PLANCHEREL”. ESTABLECE QUE LA ENERGÍA CONTENIDA EN UNA SEÑAL x(t) ES IGUAL AL ÁREA BAJO EL CUADRADO DEL MÓDULO DE LA TRANSFORMADA DE x(t), ES DECIR, |X(f)|2.
ž
žLA CANTIDAD |X(f)|2 SE DENOMINA “ESPECTRO DE ENERGÍA” O “DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA” DE LA SEÑAL X(t), y  |X(f)|2 df ES LA ENERGÍA CONTENIDA EN UN ANCHO DE BANDA INFINITESIMAL df.
ž
žPARA PODER APLICAR ESTE TEOREMA SOLO NECESITAMOS CONOCER EL ESPECTRO DE AMPLITUD |X(f)|  DE LA SEÑAL.
ž
žEL ESPECTRO DE ENERGÍA, MÁS QUE EL ESPECTRO DE POTENCIA, ES LA CARACTERIZACIÓN MÁS APROPIADA PARA SEÑALES QUE POSEEN UNA TRANSFORMADA DE FOURIER.
ž
žEN EL SENTIDO FÍSICO, EL TEOREMA DE RAYLEIGH INDICA QUE “LA ENERGÍA DE UNA SEÑAL NO DEPENDE DEL MODO DE REPRESENTACIÓN DE LA SEÑAL”. LA ENERGÍA ES UN INVARIANTE Y ES LA MISMA ASÍ SE TENGA UNA REPRESENTACIÓN TEMPORAL O UNA REPRESENTACIÓN ESPECTRAL DE LA SEÑAL.

DUALIDAD ENTRE LOS DOMINIOS
DEL TIEMPO Y LA FRECUENCIA

žSI LA DESCRIPCION EN EL TIEMPO DE UNA SEÑAL ES CAMBIADA SU DESCRIPCION EN LA FRECUENCIA ES ALTERADA EN FORMA INVERSA.
ž
žSI UNA SEÑAL ES ESTRICTAMENTE LIMITADA EN FRECUENCIA, SU DEFINICION EN EL TIEMPO SE PUEDE EXPANDIR INDEFINIDAMENTE. UNA SEÑAL ES ESTRICTAMENTE LIMITADA EN FRECUENCIA O DE BANDA LIMITADA SI SU TRANSFORMADA DE FOURIER ES EXACTAMENTE CERO FUERA DE UNA BANDA FINITA DE FRECUENCIAS. EN EL CASO CONTRARIO (SEÑAL ESTRICTAMENTE LIMITADA EN TIEMPO) SUCEDE LO MISMO.
žUNA SEÑAL NO PUEDE SER ESTRICTAMENTE LIMITADA EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA SIMULTANEAMENTE
ž
žANCHO DE BANDA (BW):

OFRECE UNA MEDIDA DE LA EXTENSION DEL CONTENIDO ESPECTRAL SIGNIFICATIVO DE LA SEÑAL PARA FRECUENCIAS POSITIVAS.

•SI LA SEÑAL ES DE BANDA LIMITADA EL ANCHO DE BANDA ESTA BIEN DEFINIDO, CUANDO NO LO ES NO PODEMOS DEFINIR EL ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL FACILMENTE.
•NO EXISTE UNA DEFINICION UNIVERSALMENTE ACEPTADA DE BW

FILTROS

žES UN DISPOSITIVO SELECTIVO EN FRECUENCIA QUE SE USA PARA LIMITAR EL ESPECTRO DE UNA SEÑAL A UNA BANDA DE FRECUENCIAS ESPECIFICAS.
ž
ž
žSU RESPUESTA SE CARACTERIZA POR UNA BANDA DE PASO Y UNA DE RECHAZO.
ž
ž
žLOS FILTROS EN UNA FORMA U OTRA REPRESENTAN UN IMPORTANTE BLOQUE FUNCIONAL EN LA CONSTRUCCION DE UN SISTEMA DE COMUNICACIONES.
ž
ž
žUN FILTRO PUEDE SER CARACTERIZADO ESPECIFICANDO SU RESPUESTA AL IMPULSO h(t) O SU FUNCION DE TRANSFERENCIA H(f).
ž
žPERO EL DISEÑO DE UN FILTRO ES USUALMENTE REALIZADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

LAS DOS ETAPAS CLAVE DEL DISEÑO DE UN FILTRO SON:

LA APROXIMACION DE UNA RESPUESTA EN FRECUENCIA INDICADA (AMPLITUD, FASE) MEDIANTE UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA REALIZABLE.
LA REALIZACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA APROXIMADA MEDIANTE UN DISPOSITIVO FISICO.
ž
žPARA QUE UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA SEA REALIZABLE FISICAMENTE DEBE REPRESENTAR UN SISTEMA ESTABLE.
ž
žLA ESTABILIDAD SE DEFINE EN TERMINOS DEL CRITERIO BIBO.
ž
SISTEMAS DE FASE MINIMA
SISTEMAS DE FASE NO MINIMA
TENIENDO EN CUENTA LA REALIZACION FISICA DE LOS FILTROS SE PUEDE HABLAR DE:
ž
žFILTROS ANALOGOS: SE CONSTRUYEN USANDO INDUCTORES Y CAPACITORES; O CAPACITORES, RESISTENCIAS Y OPAMPS.
ž
žFILTROS DE TIEMPO DISCRETO: PARA ESTOS LAS SEÑALES SON MUESTREADAS EN TIEMPO PERO SU AMPLITUD ES CONTINUA. EJ: FILTROS DE CAPACITOR CONMUTADO Y FILTROS DE ONDA ACUSTICA SUPERFICIAL (SAW).
ž
žFILTROS DIGITALES: PARA ESTOS LAS SEÑALES SON MUESTREADAS EN TIEMPO Y EN AMPLITUD SON QUANTIZADAS.

ESTOS SE CONSTRUYEN CON DISPOSITIVOS DIGITALES Y UNA DE SUS PRINCIPALES CARACTERISTICAS ES QUE ES PROGRAMABLE, OFRECIENDO MUCHA FLEXIBILIDAD EN EL DISEÑO.

TRANSFORMADA DE HILBERT

žEL ANALISIS DE FOURIER NOS HA PERMITIDO HASTA EL MOMENTO SEPARAR SEÑALES EN BASE A SUS CONTENIDOS FRECUENCIALES, ESPECIALMENTE UTIL COMO BASE MATEMATICA PARA EL DISEÑO DE FILTROS SELECTIVOS.
ž
žOTRA FORMA DE SEPARAR SEÑALES ES BASARSE EN LA SELECTIVIDAD EN FASE QUE USA DESPLAZAMIENTOS DE FASE ENTRE LAS SEÑALES DE ESTUDIO PARA LOGRAR LA SEPARACION DESEADA.
ž
žPARA LOGRAR ESTO SE NECESITA EL USO DE UN TRANSFORMADOR IDEAL, QUE EN EL CASO DE UN DESPLAZAMIENTO DE ±90 GRADOS DA COMO RESULTADO UNA FUNCION DEL TIEMPO CONOCIDA COMO LA TRANSFORMADA DE HILBERT DE LA SEÑAL.
žESTA TRANSFORMADA PUEDE INTERPRETARSE COMO UNA CONVOLUCION DE LA FUNCION CON LA FUNCION DE TIEMPO.
žA PESAR DE LOS DESFASES DE 90 GRADOS APLICADOS, LAS AMPLITUDES DE TODAS LAS COMPONENTES DE FRECUENCIA EN LA SEÑAL NO SON AFECTADAS POR UN SISTEMA CON ESTA FUNCION DE TRANSFERENCIA.
ž
žESTE SISTEMA IDEAL SE LLAMA TRANSFORMADOR HILBERT Y TIENE APLICACIONES COMO:
ž
žSE PUEDE UTILIZAR PARA REALIZAR SELECTIVIDAD EN FASE EN LA GENERACION DE UN TIPO ESPECIAL DE MODULACION EN AMPLITUD DENOMINADO  MODULACION EN BANDA LATERAL UNICA O SSB.
ž
žPROPORCIONA LA BASE MATEMATICA NECESARIA PARA REPRESENTAR SEÑALES PASABANDA.
ž
žLA TRANSFORMADA DE HILBERT SE PUEDE APLICAR A CUALQUIER SEÑAL QUE TENGA TRANSFORMADA DE FOURIER Y POR LO TANTO A SEÑALES DE POTENCIA Y DE ENERGIA DE LAS USADAS EN SISTEMAS DE COMUNICACIONES.

PREENVOLVENTE

žSI g(t) ES UNA SEÑAL REAL SE DEFINE LA SEÑAL ANALITICA POSITIVA O PREENVOLVENTE CON ESTA FUNCION DE VALOR COMPLEJO.
ž
žLA UTILIZACION DE SEÑALES ANALITICAS SIMPLIFICA EL TRABAJO CON SEÑALES PASABANDA.
ž
žUNA DE LAS CARACTERISTICAS MAS IMPORTANTES DE LA PREENVOLVENTE ES SU COMPORTAMIENTO EN FRECUENCIA.
ž
žESTO SIGNIFICA QUE LA PREENVOLVENTE NO TIENE CONTENIDO FRECUENCIAL PARA TODAS LAS FRECUENCIAS NEGATIVAS
žDADA UNA SEÑAL g(t) SE PUEDE CALCULAR LA PREENVOLVENTE DE DOS FORMAS:

ž
CALCULAR SU TRANSFORMADA HILBERT Y ENTONCES UTILIZAR LA ECUACION DADA
žCALCULAR G(f) Y DETERMINAR  G+(f) LUEGO CALCULAR LA TRANSFORMADA DE FOURIER INVERSA.
ž
ž

REPRESENTACIÓN CANÓNICA DE SEÑALES PASABANDAž

žSI g(t) ES UNA SEÑAL PASABANDA  DE ANCHO DE BANDA 2W  Y CENTRADA EN ±fc. ESTA FRECUENCIA fc ES LLAMADA FRECUENCIA PORTADORA.
ž
žEN LA MAYORIA DE LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES ENCONTRAMOS QUE EL ANCHO DE BANDA 2W ES PEQUEÑO COMPARADO CON EL VALOR DE fc. DEBIDO A ESTO ESTE TIPO DE SEÑALES SE LLAMAN DE BANDA ESTRECHA (NARROW BAND).
ž
žSI SE PUEDE EXPRESAR LA PREENVOLVENTE DE UNA SENAL BANDA ESTRECHA DE LA SIGUIENTE FORMA:
žLA SEÑAL   SE DENOMINA ENVOLVENTE COMPLEJA DE LA SEÑAL Y SE PUEDE DESPEJAR DE LA SIGUIENTE FORMA:
žSI g+(t) ESTA LIMITADA A LA BANDA DE FRECUENCIAS fc−W≤f ≤fc+W. APLICANDO LA PROPIEDAD DE DESPLAZAMIENTO EN FRECUENCIA DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
žY SE PUEDE APRECIAR QUE LA TRANSFORMADA DE LA ENVOLVENTE COMPLEJA ESTA LIMITADA A LA BANDA DE FRECUENCIAS −W ≤ f ≤W. ASI LA ENVOLVENTE COMPLEJA ES UNA SEÑAL PASABAJO.
žEN GENERAL    ES UNA SEÑAL COMPLEJA Y POR LO TANTO SE PUEDE EXPRESAR EN TERMINOS DE UNA PARTE REAL Y UNA PARTE IMAGINARIA:
žY SI LA COMBINAMOS CON QUE g(t) SE PUEDE EXPRESAR COMO LA PARTE REAL DE LA PREENVOLVENTE:
ž
ž 

žPODEMOS OBTENER
ž
žQUE SE DENOMINA FORMA CANONICA. A gc(t) SE LE DENOMINA COMPONENTE EN FASE DE LA SEÑAL ORIGINAL Y A gs(t) SE LE DENOMINA COMPONENTE EN CUADRATURA.
žES EVIDENTE QUE TANTO SI SE USA LA REPRESENTACION EN FASE Y CUADRATURA COMO LA DE AMPLITUD Y FASE, TODA LA INFORMACION CONTENIDA EN g(t) ESTA COMPLETAMENTE REPRESENTADA POR LA ENVOLVENTE COMPLEJA.
žLA VENTAJA DE USAR LA ENVOLVENTE COMPLEJA PARA EXPRESAR SEÑALES PASABANDA ES ANALITICA.
žEN GENERAL a(t) y Ф(t) SON FUNCIONES REALES A a(t) SE LE LLAMA ENVOLVENTE NATURAL O ENVOLVENTE DE LA SEÑAL ORIGINAL MIENTRAS QUE A Ф(t) SE LE DENOMINA FASE.

SISTEMAS PASABANDA

žEl ANALISIS DE SISTEMAS PASABANDA PUEDE SER SIMPLIFICADO AL ESTABLECER UNA ANALOGIA O ISOMORFISMO ENTRE SISTEMAS PASABAJO Y PASABANDA.
ž
žESTA ANALOGIA SE BASA EN EL USO DE LA TRANSFORMADA HILBERT PARA LA REPRESENTACION DE SEÑALES PASABANDA.
ž
žSI SE CONSIDERA UNA SEÑAL BANDA ESTRECHA x(t) CON TRANSFORMADA DE FOURIER X(f), ASUMIMOS QUE EL ESPECTRO ESTA LIMITADO A LAS FRECUENCIAS ±W Hz ALREDEDOR DE LA FRECUENCIA DE PORTADORA ±fc. TAMBIEN ASUMIMOS QUE W<fc.
ž
žASI LA SEÑAL SE PUEDE REPRESENTAR DE FORMA CANONICA EN TERMINOS DE SUS COMPONENTES DE FASE Y CUADRATURA
 

žSE APLICA ESTA SEÑAL COMO ENTRADA A UN SISTEMA LTI PASABANDA CON RESPUESTA AL IMPULSO h(t) Y FUNCION DE TRANSFERENCIA H(f). SUPONEMOS QUE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL SISTEMA ESTA LIMITADA A LAS BANDAS ±B EN TORNO A ±fc.
ž
žEN GENERAL EL ANCHO DE BANDA DEL SISTEMA (2B) ES USUALMENTE MAS ESTRECHO O IGUAL QUE EL DE LAS SEÑALES DE ENTRADA 2W.
ž
žSE PUEDE REPRESENTAR LA RESPUESTA AL IMPULSO h(t) EN FUNCION DE SU COMPONENTE DE FASE hc(t) Y LA COMPONENTE EN CUADRATURA hs(t) SEGÚN SU FORMA CANONICA
ž

 

 

žEL ANALISIS DE UN SISTEMA PASABANDA QUE SE COMPLICA POR LA PRESENCIA DEL FACTOR e(j2fct), ES SUSTITUIDO POR OTRO ANALISIS PASO BAJO QUE MANTIENE LA ESENCIA DEL PROCESO DE FILTRADO

 

RETRASO DE FASE Y DE GRUPO

žCUANDO UNA SEÑAL ES TRANSMITIDA A TRAVES DE UN DISPOSITIVO DISPERSIVO (SELECTIVO EN FRECUENCIA) COMO UN FILTRO O CANAL DE COMUNICACIONES, ALGUN RETRASO ES AGREGADO A LA SEÑAL DE SALIDA EN RELACION A LA DE ENTRADA.
ž
žEN UN FILTRO PASABAJO O PASABANDA IDEAL, LA RESPUESTA EN FASE VARIA LINEALMENTE CON LA FRECUENCIA DENTRO DE LA BANDA DE PASO DEL FILTRO, POR LO CUAL EL FILTRO INTRODUCE UN RETARDO CONSTANTE IGUAL A t0  .
ž
žASI ESE RETARDO CONTROLA LA PENDIENTE DE LA RESPUESTA DE FASE LINEAL DEL FILTRO.
ž
žSIN EMBARGO HAY QUE TENER EN CUENTA QUE EL RETARDO DE FASE NO ES EL RETARDO REAL DE LA SEÑAL. ESTO ES DEBIDO A QUE UNA SEÑAL SINUSOIDAL DE ESTADO ESTABLE NO LLEVA NINGUNA INFORMACION, Y POR LO TANTO, NO SE PUEDE DEDUCIR QUE EL RETARDO DE FASE SEA EL RETARDO REAL DE LA SEÑAL.
žLA INFORMACION SE PUEDE TRANSMITIR MODIFICANDO CIERTO PARAMETRO DE LA SEÑAL SINUSOIDAL SEGUN LA INFORMACION A TRANSMITIR(MODULACION).
ž
ž SUPONIENDO QUE UNA SEÑAL SINUSOIDAL DE VARIACION LENTA SE MULTIPLICA POR UNA SEÑAL SINUSOIDAL PORTADORA. LA SEÑAL RESULTANTE SE DENOMINA SEÑAL MODULADA Y CONSISTE EN UN GRUPO DE FRECUENCIAS ESTRECHO EN TORNO A LA FRECUENCIA PORTADORA.
ž
žCUANDO ESTA SEÑAL MODULADA SE TRANSMITE POR EL CANAL, SE PUEDE VER QUE EXISTE UN RETARDO ENTRE LA ENVOLVENTE DE LA SEÑAL DE ENTRADA Y LA DE LA SEÑAL DE SALIDA.
ž
žESTE RETARDO SE DENOMINA RETARDO DE GRUPO O RETARDO DE ENVOLVENTE, Y REPRESENTA EL RETARDO REAL DE LA SEÑAL DE INFORMACION.

 

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